Bloom Filter

Bloom Filter是一种空间效率很高的随机数据结构，它利用位数组很简洁地表示一个集合，并能判断一个元素是否属于这个集合。Bloom Filter的这种高效是有一定代价的：在判断一个元素是否属于某个集合时，有可能会把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（false positive）。通常应用在一些需要快速判断某个元素是否属于集合，但是并不严格要求100%正确的场合。而在能容忍低错误率的应用场合下，Bloom Filter通过极少的错误换取了存储空间的极大节省。

集合表示和元素查询

下面我们具体来看Bloom Filter是如何用位数组表示集合的。初始状态时，Bloom Filter是一个包含m位的位数组，每一位都置为0。

为了表达$S=\{x1, x2,…,xn\}$这样一个n个元素的集合，Bloom Filter使用k个相互独立的哈希函数（Hash Function），它们分别将集合中的每个元素映射到$\{1,…,m\}$的范围中。对任意一个元素$x$，第i个哈希函数映射的位置$hi(x)$就会被置为$1（1≤i≤k）$。注意，如果一个位置多次被置为1，那么只有第一次会起作用，后面几次将没有任何效果。在下图中，k=3，且有两个哈希函数选中同一个位置（从左边数第五位）。

在判断y是否属于这个集合时，我们对y应用k次哈希函数，如果所有$hi(y)$的位置都是$1（1≤i≤k）$，那么我们就认为y是集合中的元素，否则就认为y不是集合中的元素。下图中y1就不是集合中的元素。y2或者属于这个集合，或者刚好是一个false positive。

错误率估计

前面我们已经提到了，Bloom Filter在判断一个元素是否属于它表示的集合时会有一定的错误率（false positive rate），下面我们就来估计错误率的大小。在估计之前为了简化模型，我们假设$kn<m$且各个哈希函数是完全随机的。当集合$S=\{x1, x2,…,xn\}$的所有元素都被k个哈希函数映射到m位的位数组中时，这个位数组中某一位还是0的概率是：

$ p'=(1-\frac{1}{m})^{kn} ≈ e^{-\frac{kn}{m}} $

其中$\frac{1}{m}$表示任意一个哈希函数选中这一位的概率（前提是哈希函数是完全随机的），$(1-\frac{1}{m})$表示哈希一次没有选中这一位的概率。要把$S$完全映射到位数组中，需要做$kn$次哈希。某一位还是$0$意味着$kn$次哈希都没有选中它，因此这个概率就是$(1-\frac{1}{m})^{kn}$。令 $p’=e^{-\frac{kn}{m}}$是为了简化运算，这里用到了计算e时常用的近似：

$\lim_{x \to \infty}(1-\frac{1}{x})^{-x} = e $

令ρ为位数组中0的比例，则ρ的数学期望$E(ρ)= p’$。在ρ已知的情况下，要求的错误率（false positive rate）为：

$ (1-ρ)^k ≈ (1-p')^k ≈ (1-p)^k $

$(1-ρ)$为位数组中1的比例，$(1-ρ)^k$就表示k次哈希都刚好选中1的区域，即false positive rate。上式中第二步近似在前面已经提到了，现在来看第一步近似。$p’$只是$ρ$的数学期望，在实际中$ρ$的值有可能偏离它的数学期望值。M. Mitzenmacher 已经证明[2] ，位数组中0的比例非常集中地分布在它的数学期望值的附近。因此，第一步的近似得以成立。分别将$p$和$p’$代入上式中，得：

$ f' = (1-(1-\frac{1}{m})^{kn})^k = (1-p')^k $

$ f = (1-e^{-\frac{kn}{m}})^k = (1-p)^k $

相比$p’$ 和$f’$，使用$p$和$f$通常在分析中更为方便。

最优的哈希函数个数

既然Bloom Filter要靠多个哈希函数将集合映射到位数组中，那么应该选择几个哈希函数才能使元素查询时的错误率降到最低呢？这里有两个互斥的理由：如果哈希函数的个数多，那么在对一个不属于集合的元素进行查询时得到0的概率就大；但另一方面，如果哈希函数的个数少，那么位数组中的0就多。为了得到最优的哈希函数个数，我们需要根据上一小节中的错误率公式进行计算。

先用$p$和$f$进行计算。注意到$f = e^{k\ln(1-e^{-\frac{kn}{m}})}$，我们令$g = k\ln(1-e^{-\frac{kn}{m}})$，只要让g取到最小，f自然也取到最小。由于$ p = e^{-\frac{kn}{m}}$，我们可以将g写成

$ g = -\frac{m}{n}\ln(p)\ln(1-p) $

根据对称性法则可以很容易看出当$p = \frac{1}{2}$，也就是$k = ln(2)\frac{m}{n}$时，g取得最小值。在这种情况下，最小错误率f等于$\frac{1}{2}k ≈ (0.6185)\frac{m}{n}$。另外，注意到p是位数组中某一位仍是0的概率，所以$p = \frac{1}{2}$对应着位数组中0和1各一半。换句话说，要想保持错误率低，最好让位数组有一半还空着。

需要强调的一点是，$p = \frac{1}{2}$时错误率最小这个结果并不依赖于近似值$p$和$f$。同样对于$f’ = e^{k\ln(1 − (1 − \frac{1}{m})^{kn})}$，$g’ = k\ln(1 − (1 − \frac{1}{m})^{kn})$，$p’ = (1 − \frac{1}{m})^{kn}$，我们可以将$g’$写成

$ g' = \frac{1}{n\ln(1-\frac{1}{m})}\ln(p')\ln(1-p') $

同样根据对称性法则可以得到当$p’ = \frac{1}{2}$时，$g’$取得最小值。

位数组的大小

下面我们来看看，在不超过一定错误率的情况下，Bloom Filter至少需要多少位才能表示全集中任意n个元素的集合。假设全集中共有u个元素，允许的最大错误率为є，下面我们来求位数组的位数m。

假设$X$为全集中任取n个元素的集合，$F(X)$是表示$X$的位数组。那么对于集合$X$中任意一个元素x，在$s = F(X)$中查询x都能得到肯定的结果，即s能够接受x。显然，由于Bloom Filter引入了错误，s能够接受的不仅仅是X中的元素，它还能够$є (u - n)$个false positive。因此，对于一个确定的位数组来说，它能够接受总共$n + є (u - n)$个元素。在$n + є (u - n)$个元素中，s真正表示的只有其中n个，所以一个确定的位数组可以表示

个集合。m位的位数组共有2m个不同的组合，进而可以推出，m位的位数组可以表示

个集合。全集中n个元素的集合总共有

个，因此要让m位的位数组能够表示所有n个元素的集合，必须有

即：

上式中的近似前提是n和єu相比很小，这也是实际情况中常常发生的。根据上式，我们得出结论：在错误率不大于є的情况下，m至少要等于$n\log2(1/є)$才能表示任意n个元素的集合。

上一小节中我们曾算出当$k = \ln2· \frac{m}{n}$时错误率f最小，这时$f = \frac{1}{2}k = \frac{\frac{1}{2}m\ln2}{n}$。现在令$f≤є$，可以推出

这个结果比前面我们算得的下界$n\log2(1/є)$大了$\log2 e ≈ 1.44$倍。这说明在哈希函数的个数取到最优时，要让错误率不超过є，m至少需要取到最小值的1.44倍。

算法实现

下面给出一个简单的Bloom Filter的实现代码：

import java.util.BitSet;
import java.util.Random;

/** Very basic implementation of *Bloom Filter*.
 * Things to improve further.
 * 1. Save it on disk to make it distributed.
 * 2. add additional constructor to take in false positive rate and calculate other parameters.
 * */
public class BloomFilter<T> {
	
  int howManyHashFunctions =1;
  /**How many elements are expected at max*/
  int totalExpectedElements ; 
  /**How many elements in filter at any point in time*/
  int totalCurrentElements ;
  /**How many bits per  element needs to be set**/
  int bitsPerElement ;
  BitSet dataDictionaryBitSet;
	
  public BloomFilter(int howManyHashFunctions,  int totalExpectedElements, int bitsPerElement){
		this.howManyHashFunctions =howManyHashFunctions;
		this.totalExpectedElements =totalExpectedElements;
		this.bitsPerElement=bitsPerElement;
		dataDictionaryBitSet = new BitSet(bitsPerElement * totalExpectedElements);
	}
  
  /** Adding data in *Bloom Filter*. This will remember that this data was added.
   * @param data : The data which needs to be added in *Bloom Filter***/
  
	public void add(T data) {
		int[] hashCodes = generateMultipleHash(data );
		for (int index =0 ; index<hashCodes.length;++index) dataDictionaryBitSet.set(hashCodes[index]);
		++totalCurrentElements;
	}
	/**Find out if given data was previously added into filter. 
	 * @param data : The data which needs to be checked if it was previously added.
	 * **/
	public boolean exists(T data) {
 		int[] hashCodes = generateMultipleHash(data   );
		boolean exists = false;
		for (int index =0 ; index<hashCodes.length;++index) {
			if (dataDictionaryBitSet.get(hashCodes[index])) exists = true; 
			else {
				exists = false; 
				break;
			}
		}
		return exists;
	}
	
	/** Return how many element it has remembered. **/
	public int size(){
		return totalCurrentElements;
	}
	
    /** generate multiple hash codes
     * @param data the data which needs to be
     * @return array with positive hashes with hash values from 0 to size of bit set array  size
     */
    public  int[] generateMultipleHash(T data ) {
        int[] positions = new int[howManyHashFunctions];
        Random r = new Random(data.hashCode());
        for (int i = 0; i < howManyHashFunctions; i++) {
            positions[i] = r.nextInt(dataDictionaryBitSet.size());
        }
        return positions;
    }

}

总结

在计算机科学中，我们常常会碰到时间换空间或者空间换时间的情况，即为了达到某一个方面的最优而牺牲另一个方面。Bloom Filter在时间空间这两个因素之外又引入了另一个因素：错误率。在使用Bloom Filter判断一个元素是否属于某个集合时，会有一定的错误率。也就是说，有可能把不属于这个集合的元素误认为属于这个集合（False Positive），但不会把属于这个集合的元素误认为不属于这个集合（False Negative）。在增加了错误率这个因素之后，Bloom Filter通过允许少量的错误来节省大量的存储空间。

自从Burton Bloom在70年代提出Bloom Filter之后，Bloom Filter就被广泛用于拼写检查和数据库系统中。近一二十年，伴随着网络的普及和发展，Bloom Filter在网络领域获得了新生，各种Bloom Filter变种和新的应用不断出现。可以预见，随着网络应用的不断深入，新的变种和应用将会继续出现，Bloom Filter必将获得更大的发展。

参考文献

原文：Bloom Filter概念和原理 - 焦萌